Kansberekening in het casino

Leerlingen: Thijs Albers en Raoul Roelofs
Docent: Mijke Campschroer
School: Elzendaalcollege te Boxmeer

Inleiding

Het casino kent een groot aantal kansspelen. We bespreken er twee, omdat we niet meer tijd hadden en andere ons niet interessant of juist te complex leken.
We hebben gekozen voor roulette en poker. Per spel geven we eerst een speluitleg om duidelijk te maken hoe het spel gespeeld wordt, waarna we de kansen gaan berekenen.

Vraagstelling

Zijn er manieren en zo ja, welke manieren zijn er om door middel van het toepassen van kansberekening meer winst te behalen bij gok- c.q. kansspelen?
Met andere woorden: kunnen we rijk worden in het casino?

Deelvragen
- Zijn er bepaalde speelstrategieën? En houden casino's rekening met spelers met een strategie? En heeft dit invloed op (het bepalen van) de winstuitkering?
- Levert roulette of poker voor de speler of voor het casino het meeste op?
- Wat zijn de verwachte winstkansen bij beide spelen?

Hypothesen

Er zijn strategieën, maar natuurlijk zijn de casino's hiervan op de hoogte. Zij houden er bijvoorbeeld rekening mee bij het bepalen van de winstuitkering. Er zijn spellen waarbij de winkans groter is dan bij een ander spel. Echter zal hier de behaalbare winst gemiddeld veel lager liggen.

Roulette

Roulette wordt gespeeld met de nummers 1 tot en met 36 en een 0. De 0 hoort niet bij de nummers en maakt dus ook geen deel uit van de enkelvoudige kansen, dozijnen of kolommen (wat dozijnen en kolommen zijn wordt zo meteen duidelijk).

Figuur 1 Verschillende mogelijkheden

Termen	Welke nummers?	Uitbetaling
A 1-18 (low numbers)	1 t/m 18	2 x de inzet
B 19-36 (high numbers)	19 t/m 36	2 x de inzet
C Even	18 even nummers	2 x de inzet
D Odd	18 oneven nummers	2 x de inzet
E (red)	18 rode nummers	2 x de inzet
F (black)	18 zwarte nummers	2 x de inzet
G 1st 12 (first dozen)	1 t/m 12	3 x de inzet
H 2nd 12 (second dozen)	13 t/m 24	3 x de inzet
I 3rd 12 (third dozen)	25 t/m 36	3 x de inzet
J 2 to 1 (column 34)	1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34	3 x de inzet
K 2 to 1 (column 35)	2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35	3 x de inzet
L 2 to 1 (column 36)	3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36	3 x de inzet
M Sixline	blok van 6 nummers	6 x de inzet
N Corner	blok van 4 nummers	9 x de inzet
O Street	3 nummers op rij	12 x de inzet
P Split	2 met elkaar verbonden nummers	18 x de inzet
Q Straight up	1 vol nummer	36 x de inzet

Je kunt er ook nog voor kiezen om het burenspel te spelen of een van de series. In de onderstaande tabel zijn van de mogelijkheden de kansen en verwachtingswaarden berekend.

>

Inzetmogelijkheid	Winstkans	Uitbetaling	Verwachtingswaarde
Q Straight Up		36 x inzet
P Split		18 x inzet
O Street		12 x inzet
N Corner		9 x inzet
M Sixline	6 x inzet
GHIJKL Dozen/column		3 x inzet
ABCDEF Even/odd/red/black		2 x inzet

Het lijkt er op dat je door simple in te zetten (even/odd/red/black) de meeste kans hebt om te winnen. Dat klopt ook, echter de uitbetaling is minder groot. Bij alle mogelijkheden is de verwachtingswaarde gelijk, namelijk -0,027. Anders gezegd, de winstverwachting van het casino is deel van elke inzet.

Spelstrategieën bij roulette

Bij iedere spelstrategie hoort een bepaalde kansverdeling van de winst. Bij roulette leidt iedere spelstrategie tot dezelfde verwachtingswaarde. Er is dus geen verschil tussen de speler die weloverwogen zijn chips op de tafel plaatst en de speler die zijn chips blindelings inzet. Bij roulette is het spelresultaat dus niet beïnvloedbaar: het is een zuiver kansspel.
Tenminste … als het gespeeld wordt volgens de regels van Holland Casino. Want sommige strategieën zijn bij Holland Casino verboden, bijvoorbeeld verdubbelen in een cyclus. Hierbij wordt elke spelronde van de cyclus simple ingezet, met een winstkans van en een winst gelijk aan de inzet. De eerste spelronde van de cyclus start met een inzet van 1. Bij verlies van een spelronde volgt steeds een nieuwe spelronde met verdubbelde inzet. De cyclus eindigt zodra een spelronde gewonnen wordt. Natuurlijk eindigt vroeg of laat elke cyclus en per cyclus is de winst gelijk aan 1.

Poker

Poker is een kaartspel dat doorgaans wordt gespeeld met een stok van 52 kaarten. Iedere speler krijgt een hand van vijf kaarten toegedeeld. Vervolgens kunnen de spelers, afhankelijk van de kaarten die ze hebben, kaarten weggeven en nieuwe kaarten vragen (maximaal 3) met als doel een betere hand te krijgen. De winnaar van het spel is degene met de hoogste kaarten c.q. degene met de beste hand. Hieronder een overzicht van hoog naar laag (naar een voorbeeld van Holland Casino).

Royal flush Aas, heer, vrouw, boer en 10 van dezelfde soort
Straight flush Vijf opeenvolgende kaarten van dezelfde soort; bij meerdere handen met Straight flush beslist de hoogste kaart
Four of a kind Vier gelijkwaardige kaarten; bij meerdere handen met Four of a kind handen beslist de hoogste combinatie
Full House Een combinatie van Three of a kind en een Pair; bij meerdere handen met Full house beslist de hoogste Three of a kind
Flush Vijf kaarten van dezelfde soort die geen Straight flush of Royal flush vormen; bij meerdere handen met Flush beslist de hoogste kaart, daarna de tweede, derde, vierde of vijfde kaart
Straight Vijf opeenvolgende kaarten die niet alle van dezelfde soort zijn; de aas mag als hoogste (boven de heer) of als laagste kaart (onder de twee) gebruikt worden; bij meerdere handen met Straight beslist de hoogste kaart
Three of a kind Drie gelijkwaardige kaarten; bij meerdere handen met Three of a kind beslist de hoogste combinatie
Two pair Bij meerdere handen met Two pair beslist de waarde van het hoogste paar; bij gelijke combinaties beslist de hoogte van het tweede paar
One Pair Bij meerdere handen met Pair beslist de waarde van het paar; bij een gelijk paar beslist de waarde van de derde, vierde of vijfde kaart
High Card Vijf kaarten die samen geen enkele combinatie vormen en waarbij de hoogste kaart de waarde van de hand bepaalt; de rangvolgorde is van aas naar twee; bij gelijke hoogste kaart beslist de waarde van de tweede, derde, vierde of vijfde kaart

Tot zover de mogelijke handen. In totaal kent een stok kaarten 4 verschillende soorten kaarten: harten, ruiten, schoppen en klaveren. Iedere soort kent 13 kaarten, van de twee naar de aas. Bij de onderstaande kansberekeningen nemen we aan dat er met één stok kaarten wordt gespeeld. We hebben dus 52 kaarten, waar we er vijf uit trekken, niet lettend op de volgorde. In totaal zijn er 52 nCr 5 = 2598960 verschillende manieren om uit 52 kaarten er vijf te trekken.

Kans op Straight flush
Binnen iedere soort kaarten kun je op 10 manieren een Straight flush trekken. Namelijk: aas tot en met 5, of 2 tot en met 6, of 3 tot en met 7, of …, of 9 tot en met heer, of 10 tot en met aas.
Let op, de laatste manier wordt geteld als een Royal flush (10 tot en met aas van dezelfde soort). Je hebt dus binnen iedere soort 9 mogelijke Straight flushes. In totaal heb je vier verschillende soorten kaarten dus zijn er 4.9 = 36 manieren waarop je een Straight flush kunt trekken.
De kans op een Straight flush is

Kans op Full house
Allereerst trekken we de Three of a kind. Three of a kind zijn drie dezelfde kaarten. Er zijn er echter vier. We kunnen dus op 4 nCr 3 manieren een Three of a kind trekken. Er zijn vier 2en, vier 3en, vier 4en … vier vrouwen, vier heren en vier azen. We vermenigvuldigen 4 nCr 3 dus met 13.
Dan moeten we nog een Pair trekken. . Dit gaat op een soortgelijke manier. Uit vier dezelfde kaarten moet je er deze keer twee trekken. Het aantal manieren is 4 nCr 2 . Maar ook hier geldt weer dat elke set kaarten 13 mogelijkheden kent. Echter hebben we al één mogelijkheid weggenomen bij het trekken van de Three of a kind. Die kaart mogen we niet meer trekken. We hebben dus geen 13 mogelijkheden meer, maar 12. We vermenigvuldigen 4 nCr 2 dus met 12 (in plaats van) 13.
De kans op een Full House is

Op vergelijkbare manier is voor de andere handen de bijbehorende kans te berekenen.

Vaardigheden en strategieën bij poker

Bij poker speelt behalve toeval ook vaardigheid en een (verstandige) spelstrategie een grote rol. Een bekende strategie is het zogenaamde bluffen, bijvoorbeeld:
- met lage kaarten (slechte hand) niet passen, maar bluffen door te bieden om te zorgen dat andere spelers weggaan omdat ze denken dat je een goede hand hebt.
- met hoge kaarten (goede hand) niet bieden, maar passen om andere spelers met een slechte hand te verleiden mee te gaan of te bieden.

Conclusie

Natuurlijk kunnen we een heel simpele conclusie trekken, ga niet naar het casino om rijk te worden. Het casino is namelijk een commercieel bedrijf dat winst wil maken. Het is dus ook niet verassend dat de winstverwachtingen van de spelers bij de verschillende spelen negatief zijn.

Wel is er een verschil tussen poker en roulette. Bij poker komen ook een aantal andere factoren als vaardigheden kijken, terwijl roulette een echt kansspel is.

Bij welk spel je nu beste kansen hebt is moeilijk te zeggen. Bij poker is het zo, dat je tegen de andere spelers speelt en niet tegen de bank. Er is geen vaste verdeling van uitbetalingen. De winst hangt dus af van de andere spelers: wat zetten zij in, hoeveel spelers gaan mee, hoeveel spelers passen, enzovoort.
Roulette is een simpel spel, immers hier komen geen vaardigheden bij kijken. Terwijl dit bij poker wel degelijk het geval is.